페이저의 표현과 사칙연산

페이저의 표현과 사칙연산

- by Tapito

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차례

• 1. 복소평면과 페이저
  • 1-1. 직각좌표
  • 1-2. 극좌표
  • 1-3. 직각좌표와 극좌표의 변환
  • 1-4. 오일러의 공식
• 2. 페이저의 사칙연산
  • 2-1. 직각좌표의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈
  • 2-2. 극좌표의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈
  • 2-3. 오일러 공식 좌표의 곱셈과 나눗셈

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1. 복소평면과 페이저

 전기에서 복소평면은 실수축이라고 부르는 가로축(발열, 발광, 운동 등 실제로 보여지고 느낄 수 있는 어떤 값으로서 저항, 유효전력 등)과 허수축이라고 부르는 세로축(이론적으로 뭔가 존재하는 것 같지만 수동소자에 축적되었다가 다시 전원으로 돌아가기 때문에 느낄 수 없는 어떤 값으로서 리액턴스, 무효전력 등)으로 이루어져 있습니다. 복소평면에 위치한 임의의 지점은 일정한 주기를 가지고 반복하는 성질을 가지며 원점을 기준으로 어느 방향으로 얼마나 멀리 있느냐로 표현되는데 이를 페이저(phaser)라고 부릅니다. 복소평면에서 페이저를 표현하는 방법으로는 직각좌표, 극좌표, 오일러의 공식의 세가지가 있습니다.

 

1-1. 직각좌표

 직각좌표는 원점으로부터 실수축으로는 몇 칸, 허수축으로는 몇 칸 이동해야 해당 위치에 다다를 수 있는지 표현하는 방법입니다.

 어떤 위치 $A$가 원점으로부터 실수축을 따라 $a$칸 만큼 이동하고, 허수축을 따라 $b$칸 만큼 이동한 곳이라면 페이저 $\vec{A}$에 대해
$$\vec{A}=a+jb (j= \sqrt{-1})$$
로 표현합니다.

 

1-2. 극좌표

 극좌표는 원점으로부터의 직선거리와 실수축을 기준으로 하는 각인 '위상'으로 표현하는 것입니다.

 어떤 위치 $A$가 원점으로부터의 거리는 $r$이고, 원점에서 $A$를 잇는 직선이 실수축과 이루는 각은 $\theta$라고 한다면 페이저 $\vec{A}=r∠\theta$로 표현합니다. 이 때 직선거리 $r$은 페이저의 크기라고 부릅니다. 이는 임피던스(저항+리액턴스) 또는 피상전력(유효전력+무효전력)에 해당합니다.

 

1-3. 직각좌표와 극좌표의 변환

 직각좌표로 나타낸 위치나 극좌표로 나타낸 위치나 어차피 같은 곳을 가리키고 있기 때문에 두 좌표는 변환 가능합니다. 임의의 지점으로부터 실수축을 향해 직선을 그어 직각삼각형을 만든 뒤 아래와 같이 삼각함수를 사용하여 두 좌표를 상호 변환합니다.

 원점으로부터의 직선거리가 $r$이고 이 직선이 실수축과 이루는 각이 $\theta$일 때, 직각좌표의 실수 성분: $a=r\cos⁡{\theta}$, 직각좌표의 허수 성분: $a=r\sin{\theta}$ 이므로
$$\vec{A}=r∠\theta=r\cos{\theta}+jr\sin{\theta} (j=\sqrt{-1})$$
의 관계식이 있습니다.

 

1-4. 오일러의 공식

 오일러의 공식은 $e^{j\theta}=\cos{\theta}+j\sin{\theta}$라는 지수함수의 정의에 따라 페이저를 표현하는 방식입니다. 원점으로부터의 직선거리가 $r$이고 그 위상이 $\theta$일 때,
$$\vec{A}=r\cos{\theta}+jr\sin{\theta}=r(\cos{\theta}+j\sin{\theta})=re^{j\theta} (j=\sqrt{-1})$$

 정리하면 직각좌표로 표현하든, 극좌표로 표현하든, 오일러의 공식으로 표현하든 다 같은 위치를 나타내는 페이저로서 그 관계식은
$$\vec{A}=r\cos{\theta}+jr\sin{\theta}=re^{j\theta}=r∠\theta (j=\sqrt{-1})$$
입니다.

 

2. 페이저의 사칙연산

 페이저에 대해 사칙연산을 해보겠습니다. 옴의 법칙($V=IR \to V=IZ$), 전력 공식($P=VI=I_{2}R=\frac{V_{2}}{R} \to P=VI=I_{2}Z=\frac{V_{2}}{Z}$), 임피던스($Z=R+\left(X_{L}-X_{C}\right)$) 등 전기 관련 공식에서 사용하기 위한 용도입니다.

2-1. 직각좌표의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈

 두 페이저 $\vec{A}=x_{a}+jy_{a}, \vec{B}=x_{b}+jy_{b}$에 대해 덧셈과 뺄셈은 각자의 실수부와 허수부를 따로 더해거나 빼주면 됩니다. 즉,
$$\vec{A}+\vec{B}=(x_{a}+jy_{a})+(x_{b}+jy_{b})=(x_{a}+x_{b})+j(y_{a}+y_{b})$$
$$\vec{A}-\vec{B}=(x_{a}+jy_{a})-(x_{b}+jy_{b})=(x_{a}-x_{b})+j(y_{a}-y_{b})$$

 곱셈은 다항식의 곱셈으로 보아 식을 전개하면 됩니다. 단 $j^{2}$은 -1로 고쳐 실수부에 한번 더 덧셈합니다.
$$\vec{A}\vec{B}=(x_{a}+jy_{a})(x_{b}+jy_{b})=\left[{x_{a}x_{b} + jx_{a}y_{b} + jy_{a}x_{b} + j^{2}y_{a}y_{b}}\right]_{j^2=-1}=\left(x_{a}x_{b} - y_{a}y_{b}\right) + j\left(x_{a} y_{b} + y_{a}x_{b}\right)$$

 나눗셈은 약간 복잡합니다. 분모의 켤레복소수(=공액복소수)를 분자와 분모에 곱하여 분모를 실수로 만듭니다.
$$\frac{\vec{A}}{\vec{B}}=\frac{x_{a}+jy_{a}}{x_{b}+jy_{b}}=\frac{\left( x_{a} + jy_{a} \right) \left( x_{b} - jy_{b} \right)}{\left( x_{b} + jy_{b} \right) \left( x_{b} - jy_{b} \right)}$$
$$=\left[\frac{x_{a}x_{b} - jx_{a}y_{b} + jy_{a}x_{b} - j^{2}y_{a}y_{b}}{{x_{b}}^2-j^{2}{y_{b}}^2}\right]_{j^{2}=-1}=\frac{\left( x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} \right) - j\left( x_{a}y_{b} - y_{a}x_{b} \right)}{{x_{b}}^2 + {y_{b}}^2}$$

 

2-2. 극좌표의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈

 직각좌표는 곱셈과 나눗셈이 복잡했다면, 극좌표는 덧셈과 뺄셈이 복잡합니다. 극좌표 자체로는 덧셈과 뺄셈을 수행할 수 없으므로 이를 직각좌표로 변환한 다음 연산을 수행합니다.

 두 페이저 $\vec{A}=r_{a}∠{\theta_{a}} \to r_{a}\cos{\theta_{a}}+jr_{a}\sin{\theta_{a}}$, $\vec{B}=r_{b}∠{\theta_{b}} \to r_{b}\cos{\theta_{b}}+jr_{b}\sin{\theta_{b}}$에 대하여,
$$\vec{A}+\vec{B}=\left(r_{a}\cos{\theta_{a}} + jr_{a}\sin{\theta_{a}} \right) + \left(r_{a}\cos{\theta_{a}} + jr_{a}\sin{\theta_{a}} \right)=\left( r_{a}\cos{\theta_{a}} + r_{b}\cos{\theta_{b}} \right) + j\left( r_{a}\sin{\theta_{a}} + r_{b}\sin{\theta_{b}} \right)$$
$$ = \sqrt{{\left( r_{a}\cos{\theta_{a}} + r_{b}\cos{\theta_{b}} \right)}^{2} + { \left( r_{a}\sin{\theta_{a}} + r_{b}\sin{\theta_{b}} \right)}^{2}}∠\arctan{\frac{ r_{a}\sin{\theta_{a}} + r_{b}\sin{\theta_{b}}}{r_{a}\cos{\theta_{a}} + r_{b}\cos{\theta_{b}}}}$$
$$\vec{A}-\vec{B}=\left(r_{a}\cos{\theta_{a}} + jr_{a}\sin{\theta_{a}} \right) - \left(r_{a}\cos{\theta_{a}} + jr_{a}\sin{\theta_{a}} \right)=\left( r_{a}\cos{\theta_{a}} - r_{b}\cos{\theta_{b}} \right) + j\left( r_{a}\sin{\theta_{a}} - r_{b}\sin{\theta_{b}} \right)$$
$$ = \sqrt{{\left( r_{a}\cos{\theta_{a}} - r_{b}\cos{\theta_{b}} \right)}^{2} + { \left( r_{a}\sin{\theta_{a}} - r_{b}\sin{\theta_{b}} \right)}^{2}}∠\arctan{\frac{ r_{a}\sin{\theta_{a}} - r_{b}\sin{\theta_{b}}}{r_{a}\cos{\theta_{a}} - r_{b}\cos{\theta_{b}}}}$$

 곱셈은 각자의 크기를 곱하고 각은 더하면 됩니다.
$$\vec{A}\vec{B}=\left(r_a∠\theta_a\right)\left(r_b∠\theta_b\right)=r_{a} r_{b}∠\left(\theta_a+\theta_b\right)$$

 나눗셈은 각자의 크기를 나누고 각은 빼면 됩니다.
$$\frac{\vec{A}}{\vec{B}}=\frac{r_{a}∠\theta_{a}}{r_{b}∠\theta_{b}}=\frac{r_{a}}{r_{b}}∠\left(\theta_{a}-\theta_{b}\right)$$

 

2-3. 오일러 공식 좌표의 곱셈과 나눗셈

 오일러 공식의 덧셈과 뺄셈도 극좌표와 똑같이 직각좌표로 변환하여 연산하므로 생략하겠습니다. 직각좌표로 변환하며 위와 같이 구하면 되겠습니다. 곱셈과 나눗셈은 일반적인 지수의 곱과 나눗셈으로 연산 가능합니다.

 두 페이저 $\vec{A}=r_{a}e^{j\theta_a}$, $\vec{B}=r_{b}e^{j\theta_b}$에 대하여 두 페이저의 곱은,
$$\vec{A}\vec{B}=\left(r_{a}e^{j\theta_a}\right)\left(r_{b}e^{j\theta_b}\right)=r_{a}r_{b}e^{j\left(\theta_{a}+\theta_{b}\right)}$$

 두 페이저의 나눗셈은,
$$\frac{\vec{A}}{\vec{B}}=\frac{r_{a}e^{j\theta_a}}{r_{b}e^{j\theta_b}}=\frac{r_a}{r_b}e^{j\left(\theta_a-\theta_b\right)}$$